INTRODUCCIÓN: Para dejar claro cuál es la motivación de esta tesis, empezaremos poniendo como ejemplo uno de los resultados principales que en ella se encuentran: Sean X e Y dos espacios métricos completos. Consideremos U(X) y U(Y) dotados del orden natural: una función es mayor o igual que otra si lo es en todo punto. Si existe una biyección entre U(Y) y U(X) que conserva el orden de las funciones, entonces X e Y son uniformemente homeomorfos. Además de estos isomorfismos de orden entre espacios de funciones uniformemente continuas, en esta tesis doctoral tratamos con espacios de funciones continuas, de Lipschitz y diferenciables. Consideramos tanto isomorfismos de conjuntos ordenados como isomorfismos multiplicativos entre los espacios de funciones. Los resultados obtenidos muestran que en todos los casos existen homeomorfismos entre los espacios sobre los que están definidas las funciones y además damos representaciones puntuales de estos isomorfismos. DESARROLLO TEÓRICO: El documento comienza con una breve introducción en la que fijamos las notaciones y exponemos los resultados básicos que necesitaremos a lo largo del resto de capítulos. El primer capítulo está dedicado al estudio de los isomorfismos de orden entre espacios de funciones. En él demostramos el resultado mencionado anteriormente además de otros sobre isomorfismos de espacios de funciones continuas o diferenciables,además de las versiones para espacios de funciones acotadas. En el segundo capítulo tratamos con isomorfismos multiplicativos: aplicaciones biyectivas que conservan el producto puntual de funciones. Gran parte del trabajo hecho en primer capítulo es válido en el segundo, ya que los isomorfismos multiplicativos conservan el orden salvo en los puntos de unos ciertos subconjuntos de X y de Y. En él probamos, entre otras cosas: Sean X e Y variedades diferenciables de clase k y dimensión finita. Todo isomorfismo multiplicativo entre sus espacios de funciones de clase k consiste en componer con un difeomorfismo de clase k. En el tercer capítulo exponemos los problemas abiertos que surgen a partir del trabajo anterior, así como algunas reflexiones sobre cómo se podría avanzar para resolverlos. CONCLUSIÓN: A la vista de los resultados de los capítulos primero y segundo, podemos destacar que hemos conseguido demostrar una amplia variedad de resultados de representación de isomorfismos con unas técnicas que son similares para todos ellos. BIBLIOGRAFÍA: De entre la bibliografía consultada, seguramente los trabajos que más influencia han tenido sean: ANDERSON, F. W., A lattice characterization of completely regular G-delta spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 6 757-765. GARRIDO, M. I. and JARAMILLO, J. A., A Banach-Stone Theorem for uniformly continuous functions. Monatsh Math. 131 189-192. HUSEK, M., and PULGARÍN, A., Banach-Stone-like theorems for lattices of uniformly continuous functions. Quaestiones Mathematicae 35 417-430. KAPLANSKY, I., Lattices of continuous functions. Bull. Amer. Math. Soc. 53 617-623. SHIROTA, T., A generalization of a theorem of I. Kaplansky. Osaka Math. J. 4, 121-132.
