Se obtiene una nueva caracterización bidimensional, real e isométrica de los espacios prehilbertianos; estos es, de los espacios normados cuya norma está inducida por un producto escalar; en la línea de las que parecen en la obra de D.Amir; Characterizations of inner producto spaces, Birkauser Verlag, Basel, 1986; del tipo de la Igualdad del paralelogramo o del Teorema de Brunn, Blaschke y Kakutani. Más concretamente, fijado un número real r (o menor r menor1), se prueba que un espacio normado X (real o complejo), con esfera unidad S, es prehilbertiano si y sólo si. Se estudian también aplicaciones de esta nueva caracterización de espacios prehilbertianos: una, consistente en, haciendo uso de la nueva caracterización antes indicada, obtener otra nueva caracterización de los espacios prehilbertianos usando medianas de Fermat-Torricelli de tres puntos, en relación con el problema clásico de las medianas de Fermat-Torricelli (S XVII); otra, consistente en debilitar las hipótesis de un resultado clásico de Gurarii y Sozonov (1968) relativo a caracterización de espacios prehilbertianos.